В современных условиях интерес к анализу данных постоянно и интенсивно растет в совершенно различных областях, таких как биология, лингвистика, экономика, и, разумеется, IT. Основу этого анализа составляют статистические методы, и разбираться в них необходимо каждому уважающему себя специалисту в data mining.
К сожалению, действительно хорошая литература, такая что умела бы предоставить одновременно математически строгие доказательства и понятные интуитивные объяснения, встречается не очень часто. И данные лекции , на мой взгляд, необычайно хороши для математиков, разбирающихся в теории вероятностей именно по этой причине. По ним преподают магистрам в немецком университете имени Кристиана-Альбрехта на программах «Математика» и «Финансовая математика». И для тех, кому интересно, как этот предмет преподается за рубежом, я эти лекции перевел . На перевод у меня ушло несколько месяцев, я разбавил лекции иллюстрациями, упражнениями и сносками на некоторые теоремы. Замечу, что я не профессиональный переводчик, а просто альтруист и любитель в этой сфере, так что приму любую критику, если она конструктивна.
Вкратце, лекции вот о чем:
Условное математическое ожидание
Эта глава не относится непосредственно к статистике, однако, идеальна для старта её изучения. Условное математическое ожидание — это наилучший выбор для предсказания случайного результата на основе уже имеющейся информации. И это тоже случайная величина. Здесь рассматриваются его различные свойства, такие как линейность, монотонность, монотонная сходимость и прочие другие.
Основы точечного оценивания
Как оценить параметр распределения? Какой для этого выбрать критерий? Какие методы при этом использовать? Эта глава позволяет ответить на все эти вопросы. Здесь вводятся понятия несмещенной оценки и равномерно несмещенной оценки с минимальной дисперсией. Объясняется, откуда берутся распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента, и чем они важны при оценивании параметров нормального распределения. Рассказывается, что такое неравенство Рао-Крамера и информация Фишера. Также вводится понятие экспоненциального семейства, многократно облегчающего получение хорошей оценки.
Байесовское и минимаксное оценивания параметров
Здесь описывается иной философский подход к оценке. В данном случае параметр считается неизвестным потому, что он является реализацией некой случайной величины с известным (априорным) распределением. Наблюдая результат эксперимента мы рассчитываем так называемое апостериорное распределение параметра. На основе этого, мы можем получить Байесовскую оценку, где критерием является минимум потерь в среднем, или минимаксную оценку, минимизирующую максимально возможные потери.
Достаточность и полнота
Эта глава имеет серьезное прикладное значение. Достаточная статистика — это функция от выборки, такая что достаточно хранить только результат этой функции для того, чтобы оценить параметр. Таких функций много и среди них выделяют так называемые минимальные достаточные статистики. Например, для оценки медианы нормального распределения достаточно хранить лишь одно число — среднее арифметическое по всей выборке. Работает ли это также для других распределений, например, для распределения Коши? Как достаточные статистики помогают в выборе оценок? Здесь вы можете найти ответы на эти вопросы.
Асимптотические свойства оценок
Пожалуй, самое важное и необходимое свойство оценки — это её состоятельность, то есть стремление к истинному параметру при увеличении размера выборки. В этой главе рассказывается какими свойствами обладают известные нам оценки, полученные описанными в предыдущих главах статистическими методами. Вводятся понятия асимптотической несмещенности, асимптотической эффективности и расстояния Кульбака-Лейблера.
Основы тестирования
Кроме вопроса о том, как оценить неизвестный нам параметр, мы должны каким-то образом проверить, удовлетворяет ли он требуемым свойствам. Например, проводится эксперимент, в ходе которого испытывается новое лекарство. Как узнать, выше ли вероятность выздоровления с ним, нежели чем с использованием старых лекарств? В этой главе объясняется, как строятся подобные тесты. Вы узнаете, что такое равномерно наиболее мощный критерий, критерий Неймана-Пирсона, уровень значимости, доверительный интервал, а также откуда берутся небезызвестные критерий Гаусса и t-критерий.
Асимптотические свойства критериев
Как и оценки, критерии должны удовлетворять определенным асимптотическим свойствам. Иногда могут возникнуть ситуации, когда нужный критерий построить невозможно, однако, используя известную центральную предельную теорему, мы строим критерий, асимптотически стремящийся к необходимому. Здесь вы узнаете, что такое асимптотический уровень значимости, метод отношения правдоподобия, и как строятся критерий Бартлетта и критерий независимости хи-квадрат.
Линейная модель
Эту главу можно рассматривать как дополнение, а именно, применение статистики в случае линейной регрессии. Вы разберетесь в том, какие оценки хороши и в каких условиях. Вы узнаете, откуда взялся метод наименьших квадратов, каким образом строить критерии и зачем нужно F-распределение.
Асимптотическим поведением (или асимптотикой) функции в окрестности некоторой точки а (конечной или бесконечной) понимают характер изменения функции при стремлении ее аргумента х к этой точке. Это поведение обычно стараются представить с помощью другой, более простой и изученной функции, которая в окрестности точки а с достаточной точностью описывает изменение интересующей нас функции или оценивает ее поведение с той или иной стороны. В связи с этим возникает задача сравнения характера изменения двух функций в окрестности точки а, связанная с рассмотрением их частного. Особый интерес представляют случаи, когда при х а обе функции являются либо бесконечно малыми (б.м.), либо бесконечно большими (б.б.).
10.1. Сравнение бесконечно малых функций
Основная цель сравнения б.м. функций состоит в сопоставлении характера их приближения к нулю при х а, или скорости их стремления к нулю. Пусть б.м. при х а функции а(я) и Р(х) отличны от нуля в некоторой проколотой окрестности
(а) точки а, а в точке а они равны нулю или не определены.
Определение 10.1. Функции а(ж) и 0(х) называют б.м. одного порядка при а и записывают ог(а:)=в О (/?(«)) (символ О читают „О большое»), если при х а существует отличный от нуля конечный предел отношения а(ж)//?(я), т.е.
Очевидно, что тогда, согласно (7.24), ЗИт
€R\{0}, и правомерна запись Х^а0[а(х)). Символ О обладает свойством транзитивности, т.е. если
— в самом деле, с учетом определения 10.1 и свойства произведения функций (см. (7.23)), имеющих конечные (в данном случае не равные нулю) пределы, получим
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ. Сравнение бесконечно малых функций.
Определение 10.2. Функцию а(х) называют б.м. более высокого порядка малости по сравнению с (3(х) (или относительно /3(х)) при х а и записывают) (символ о читают ио малое если существует и равен нулю предел отношения а
В этом случае также говорят, что функция является б.м. более низкого порядка малости по сравнению с а(х) при х а, причем слово малости обычно опускают (как и в случае более высокого порядка в определении 10.2). Сказанное означает, что если lim (то функция /}(х)
является, согласно определению 10.2, б.м. более высокого порядка по сравнению с а(х) при х а и а(я) есть б.м. более низкого порядка по сравнению с /3(х) при х а, ибо в этом случае lijTi (fi(x)/ot(x)) . Так что можно записать
Согласно теореме 7.3 о связи функции, ее предела и б.м. функции из (10.3) следует, что ot) — функция, б.м.
при. Отсюда а(х) , т.е. значения |а(з)| при х, близких к а, много меньше значений \0(х)\. Иными словами, функция а(х) стремится к нулю быстрее функции /?(х).
Теорема 10.1. Произведение любых б.м. при х а функций а(х) и Р(х)} отличных от нуля в некоторой проколотой окрестности точки а, есть при х-¥а б.м. функция более высокого порядка по сравнению с каждым из сомножителей.
Действительно, согласно определению 10.2 б.м. более высокого порядка (с учетом определения 7.10 б.м. функции), равенства
означают справедливость утверждения теоремы.
Равенства, содержащие символы О и о, иногда называют асимптотическими оценками.
Определение 10.3. Функции ot(x) и /3(х) называют несравнимыми б.м. при х -¥ а, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела их отношения, т.е. если $ lim а(х)/0(х) (р£внокак $ lim 0(х)/а(х)).
Пример 10.1. а. Функции а(х) = х и /?(x) = sin2ar в силу определения 10.1 — б.м. одного порядка при х 0, так как с учетом (б. Функция а{х) = 1 -coss, по определению 10.2, — б.м. более высокого порядка по сравнению с 0(х) = х при х 0, поскольку с учетом
в. Функция а(зг) = \/x есть б.м. более низкого порядка по сравнению с fl(x) = х при х 0, так как
г. Функции a(s) = = х согласно определению 10.3 — несравнимые б.м. при х 0, поскольку предела
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ. Сравнение бесконечно малых функций.
не существует (ни конечного, ни бесконечного — см. пример 7.5).
Степенная функция х11 с показателем степени п 6 N, п > 1, является при х а б.м. более высокого порядка по сравнению с хп~1} т.е. япа=ао(а:п»*1), так как lim (хЛ/хп»1) =
При необходимости более точной сравнительной характеристики поведения б.м. функций при х — а одну из них выбирают в качестве своего рода эталона и называют ее основной. Конечно, выбор основной б.м. в известной мере произволен (стремятся выбрать попроще: х при ж-*0; х-1 при х -41; 1/х при х ->оо и т.п.). Из степеней 0к(х) основной б.м. функции /}(х) с различными показателями к > 0 (при к ^ 0 0к(х) не является б.м.) составляют шпалу сравнения для оценки более сложной б.м. функции a(z).
Определение 10.4. Функцию a(z) называют б.м. к-го порядка малости относительно (3(х) при х а, а число к — порядком малости, если функции a(z) и /Зк(х) являются б.м. одного порядка при х а) т.е. если
Слово „малости» и в этом случае обычно опускают.
Отметим:
1) порядок к одной б.м. функции относительно другой может быть любым положительным числом;
2) если порядок функции а(х) относительно /3(х) равен к, то порядок функции Р(х) относительно а(х) равен 1/к;
3) не всегда для б.м. функции а(х), даже сравнимой со всеми степенями /?*(х), можно указать определенный порядок к.
Пример 10.2. а. Функция cosx, согласно определению 10.4,- б.м. порядка к = 2 относительно 0(х) = х при х 0, так как с учетом
б. Рассмотрим функции. Покажем, что при любом
Действительно,
согласно (7.32). Таким образом, б.м. при х-»+0 функция а1/1 сравнима с хк при любом к > О, но указать для этой функции порядок малости относительно х не удается. #
Определить порядок одной б.м. функции относительно другой не всегда просто. Можно рекомендовать такой порядок действий:
1) написать под знаком предела отношение а(х)/0к(х)\
2) проанализировать записанное отношение и попытаться упростить его;
3) опираясь на известные результаты, выдвинуть предположение о возможном значении к} при котором будет существовать не равный нулю конечный предел;
4) проверить предположение путем вычисления предела.
Пример 10.3. Определим порядок б.м. функции tgx — sin х относительно х при х -» 0, т.е. найдем такое число к > О, чтобы
Имеем
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ. Сравнение бесконечно малых функций.
На этом этапе, зная, что при х 0, согласно (7.35) и (7.36), (sinx)/x 1 и cosx -> 1, и учитывая (7.23) и (7.33), можно определить, что условие (10.7) будет выполнено при к = 3. Действительно, непосредственное вычисление предела при к = 3 дает значение А = 1/2:
Отметим, что при к > 3 получим бесконечный предел, а при предел будет равен нулю.
асимптотически оптимальный
- — понятие, утверждающее несмещенность оценки в пределе. Пусть — последовательность случайных величин на вероятностном пространстве, где Ресть одна из мер семейства…Математическая энциклопедия
- — понятие, утверждающее несмещенность критерия в пределе…Математическая энциклопедия
- — решение дифференциальной системы, устойчивое по Ляпунову.и притягивающее все остальные решения с достаточно близкими начальными значениями…Математическая энциклопедия
- — понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич…Математическая энциклопедия
- — желательный, целесообразный…Справочный коммерческий словарь
- — 1. наилучший, наиболее благоприятный, наиболее соответствующий определенным условиям и задачам 2…Большой экономический словарь
- — наиболее благоприятный, лучший из возможных…Большая Советская энциклопедия
- — наилучший, наиболее соответствующий определённым условиям и задачам…Современная энциклопедия
- — наилучший, наиболее соответствующий определенным условиям и задачам…Большой энциклопедический словарь
- — …
- — …Орфографический словарь-справочник
- — …Орфографический словарь-справочник
- — …Орфографический словарь-справочник
- — …Орфографический словарь-справочник
- — …Орфографический словарь-справочник
- — …Орфографический словарь-справочник
«асимптотически оптимальный» в книгах
Оптимальный визуальный контраст (ОВК)
Из книги
Цвет и Контраст. Технология и творческий выбор
автора
Железняков Валентин Николаевич
Оптимальный визуальный контраст (ОВК)
Представим себе черный костюм, освещенный солнцем, и белую рубашку, освещенную луной. Если измерить их яркости прибором, то окажется, что в этих условиях черный костюм во много раз ярче, чем белая рубашка, и, тем не менее, мы знаем, что
Что такое оптимальный масштаб?
Из книги
Твитономика. Все, что нужно знать об экономике, коротко и по существу
автора
Комптон Ник
Что такое оптимальный масштаб?
Автором концепции оптимального масштаба является немецко-британский философ Фриц Шумахер, автор книги «Меньше – лучше: экономика как человеческая сущность».Он говорил о том, что капиталистическая тенденция к «гигантизму» не только не
8.4.2. Оптимальный путь роста
Из книги
Экономическая теория: учебник
автора
Маховикова Галина Афанасьевна
8.4.2. Оптимальный путь роста
Предположим, что цены ресурсов остаются неизменными, тогда как бюджет предприятия постоянно растет. Соединив точки касания изоквант с изокостами, мы получим линию 0G – «путь развития» (путь роста). Эта линия показывает темпы роста соотношения
Оптимальный вариант
Из книги
СССР: от разрухи к мировой державе. Советский прорыв
автора
Боффа Джузеппе
Оптимальный вариант
В огне схваток 1928 г. родился первый пятилетний план. Начиная с 1926 г. в двух учреждениях, Госплане и ВСНХ, один за другим подготавливались различные проекты плана. Их разработка сопровождалась непрерывными дискуссиями. По мере того как одна схема
ОПТИМАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ
Из книги
Русский рок. Малая энциклопедия
автора
Бушуева Светлана
Оптимальный
Из книги
Большая Советская Энциклопедия (ОП)
автора
БСЭ
Оптимальный порядок
Из книги
CSS3 для веб-дизайнеров
автора
Сидерхолм Дэн
Оптимальный порядок
Используя браузерные префиксы, важно не забывать о порядке, в котором перечисляются свойства. Можно заметить, что в предыдущем примере сначала написаны префиксные свойства, за которыми следует беспрефиксное свойство.Зачем ставить подлинное
Человек оптимальный
Из книги
Журнал «Компьютерра» № 40 от 31 октября 2006 года
автора
Журнал «Компьютерра»
Человек оптимальный
Автор: Владимир ГуриевНекоторые темы, популярные каких-то сорок лет назад, сегодня кажутся настолько маргинальными, что всерьез почти не обсуждаются. Тогда же — если судить по тону статей в популярных журналах — они казались актуальными и даже
Оптимальный вариант
Из книги
Первый удар Сталина 1941 [Сборник]
автора
Кремлев Сергей
Оптимальный вариант
Анализ возможных сценариев развития событий неизбежно заставляет задуматься о выборе оптимального варианта. Нельзя сказать, что различные «летние» варианты, то есть альтернативы, привязанные к маю-июню — июлю 1941 г., внушают оптимизм. Нет, они,
Оптимальный вариант
Из книги
Великая Отечественная альтернатива
автора
Исаев Алексей Валерьевич
Оптимальный вариант
Анализ возможных сценариев развития событий неизбежно заставляет задуматься о выборе оптимального варианта. Нельзя сказать, что различные «летние» варианты, т. е. альтернативы, привязанные к маю — июню — июлю 1941 г., внушают оптимизм. Нет, они,
Оптимальный контроль
Из книги
Самооценка у детей и подростков. Книга для родителей
автора
Эйестад Гюру
Оптимальный контроль
Что значит держать в меру крепко? Это вы должны определить сами, исходя из знания собственного ребенка и условий среды, в которой вы живете. В большинстве же случаев родители подростков стараются уберечь своих детей от курения, употребления алкоголя,
Оптимальный путь
Из книги
Парадокс перфекциониста
автора
Бен-Шахар Тал
Оптимальный путь
Нас постоянно атакует совершенство. Обложку Men’s Health украшает Адонис, обложку Vogue — Елена Прекрасная; женщины и мужчины на необъятном экране за час-другой улаживают свои конфликты, разыгрывают идеальный сюжет, отдаются идеальной любви. Все мы слышали,
Оптимальный подход
Из книги
Эксперт № 07 (2013)
автора
Эксперт Журнал
Оптимальный подход
Сергей Костяев,
кандидат политических наук, старший научный сотрудник ИНИОН РАН
Министерство обороны США потратило миллиард долларов на неработающую компьютерную программу
Фото: EPA
С 1 марта расходы Пентагона, вероятно, будут сокращены на 43 млрд
Оптимальный вариант
Из книги
Два сезона
автора
Арсеньев Л
Оптимальный вариант
— Скажите, разумно ли играть сразу на нескольких фронтах? — спросили журналисты у Базилевича и Лобановского в самом начале сезона-75.- Неразумно, конечно, — ответили они. — Но нужно. Мы считаем, что обязательно следует дифференцировать значимость
Оптимальный контроль
Из книги
Управление личными (семейными) финансами. Системный подход
автора
Штейнбок Михаил
Оптимальный контроль
>> При оптимальном контроле мы все расходы разделяем на две больших группы:– «обычные» – регулярные расходы,– разовые или нестандартные расходы.Оптимальный контроль может использоваться только после нескольких месяцев детального контроля.
Диссертация
Поэтому одним из путей развития проверки статистических гипотез стал путь «эмпирического» построения критериев, когда конструируемая статистика критерия основана на определенном принципе, остроумной идее или здравом смысле, но оптимальность ее не гарантирована. Для того, чтобы оправдать применение подобных статистик при проверке гипотез против определенного класса альтернатив, чаще всего методом…
- 1.
Вспомогательные сведения- 1. 1.
Сведения из теории С/- и V- статистик - 1. 2.
Определение и вычисление бахадуровской эффективности - 1. 3.
О больших уклонениях II- и V- статистик
- 1. 1.
- 2.
Критерии симметрии Барингхауза-Хенце- 2. 1.
Введение - 2. 2.
Статистика - 2. 3.
Статистика
- 2. 1.
- 3.
Критерии экспоненциальности- 3. 1.
Введение - 3. 2.
Статистика Я - 3. 3.
Статистика п
- 3. 1.
- 4.
Критерии нормальности- 4. 1.
Введение - 4. 2.
Статистика В^ - 4. 3.
Статистика В^п - 4. 4.
Статистика В|)П
- 4. 1.
- 5.
Критерии согласия с законом Коши- 5. 1.
Введение - 5. 2.
Статистика - 5. 3.
Статистика
- 5. 1.
Асимптотические свойства критериев симметрии и согласия, основанных на характеризациях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В настоящей диссертации строятся и исследуются критерии согласия и симметрии, основанные на характеризационных свойствах распределений, а также вычисляется их асимптотическая относительная эффективность для ряда альтернатив.
Построение статистических критериев и изучение их асимптотических свойств является одной из важнейших задач математической статистики. При проверке простой гипотезы против простой альтернативы задача решается с помощью леммы Неймана-Пирсона, которая, как известно, дает оптимальный (наиболее мощный) критерий в классе всех критериев заданного уровня. Это критерий отношения правдоподобия.
Однако для более трудных и важных для практики задач проверки гипотез, связанных либо с проверкой сложных гипотез, либо с рассмотрением сложных альтернатив, равномерно наиболее мощные критерии существуют редко, а роль критерия отношения правдоподобия существенно меняется. Статистику отношения правдоподобия обычно не удается вычислить в явном виде, она теряет свойство оптимальности, а ее распределение неустойчиво к изменениям статистической модели. Более того, статистик часто вообще не может определить вид альтернативы, без чего построение параметрических критериев теряет смысл.
Поэтому одним из путей развития проверки статистических гипотез стал путь «эмпирического» построения критериев, когда конструируемая статистика критерия основана на определенном принципе, остроумной идее или здравом смысле, но оптимальность ее не гарантирована.
Типичными примерами таких статистик являются статистика знаков, статистика х2 Пирсона (1900), статистика Колмогорова (1933), измеряющая равномерное расстояние между эмпирической и истинной функцией распределения, ранговый коэффициент корреляции Кендалла (1938) или статистика Бикела-Розенблатта (1973), основанная на квадратичном риске ядерной оценки плотности . В настоящее время математическая статистика располагает многими десятками «эмпирических» статистик для проверки гипотез согласия, симметрии, однородности, случайности и независимости, и в литературе постоянно предлагаются все новые и новые статистики такого типа. Огромная литература посвящена изучению их точных и предельных распределений, оценкам скорости сходимости, большим уклонениям, асимптотическим разложениям и т. д.
Для того, чтобы оправдать применение подобных статистик при проверке гипотез против определенного класса альтернатив, чаще всего методом статистического моделирования вычисляют их мощность. Однако для любого состоятельного критерия мощность с ростом объема выборки стремится к единице, и потому не всегда информативна. Более глубокий анализ сравнительных свойств статистик может быть осуществлен на основе понятия асимптотической относительной эффективности (АОЭ). Различные подходы к вычислению АОЭ предлагались Э. Питменом, Дж. Ходжесом и Э. Леманом, Р. Бахадуром, Г. Черновым и В. Калленбергом в середине XX в., результаты развития теории АОЭ к середине 90-х годов подведены в монографии . Общепринято мнение, что синтез новых критериев должен сопровождаться не только анализом их свойств, но и вычислением АОЭ для того, чтобы оценить их качество и дать обосно ванные рекомендации по их использованию на практике.
В настоящей работе используется идея построения критериев на основе характеризации распределений свойством равнораспределенности. Ха-рактеризационная теория берет свое начало из работы Д. Пойа, опубликованной в 1923 г. Затем она развивалась в работах И. Марцинкевича, С. Н. Бернштейна, Э. Лукача, Ю. В. Линника, A.A. Зингера, Ж. Дармуа, В. П. Скитовича, С.Р. Pao, A.M. Кагана, Я. Галамбоша, С. Котца, Л. Б. Клебанова и многих других математиков. Литература по этому вопросу велика, и в настоящее время существует несколько монографий, посвященных характеризациям, например, , , , , , , .
Идея построения статистических критериев на основе характериза-ций свойством равнораспределенности принадлежит Ю. В. Линнику , . В конце обширной работы он писал: «. можно поставить вопрос о построении критериев согласия выборки со сложной гипотезой, основанных на одинаковой распределенности двух соответствующих статистик gi (xi> .хг) и д2{х, ¦¦¦хг) и на сведении, таким образом, вопроса к критерию однородности.»
Вернемся к классической теореме Пойа , чтобы объяснить на конкретном примере, как может действовать такой подход. В простейшем варианте эта теорема формулируется следующим образом.
Теорема Пойа. Пусть X и Y две независимые и одинаково распределенные центрированные с. в. Тогда с. в. (X + Y)//2 и X одинаково распределены в том и только том случае, когда закон распределения X нормальный.
Предположим, что мы имеем выборку из центрированных независимых наблюдений Xi, ., Хп и хотим проверить (сложную) нулевую гипотезу о принадлежности распределения этой выборки к нормальному закону со средним 0 и некоторой дисперсией. Построим по нашей выборке обычную эмпирическую функцию распределения (ф.р.) п
Fn (t) = п-^ВД
Gn (t) = п~2? ВД + Xj < iv^}, t <= R1. i, j=l
В силу теоремы Гливенко-Кантелли, справедливой и для V-статисти-ческих эмпирических ф.р. , при больших п функция Fn (t) равномерно сближается с ф.р. F (t) = Р (Х < t), а функция Gn (t) равномерно сближается с G (t) = ЦХ + У < tV2). Поскольку при нулевой гипотезе F = G, то Fn (t) близка к Gn (t), и критерий значимости можно основывать на подходящем функционале Тп от разности Fn (t) — Gn (t). Напротив, при альтернативе (то есть при нарушении нормальности) по теореме Пойа F ф G, что приводит к большим значениям Тп и позволяет отвергнуть нулевую гипотезу, обеспечивая состоятельность критерия.
Однако эта конструкция, основывающаяся на идее Ю. В. Линника, почти не получила развития, возможно, ввиду технических трудностей при построении и анализе получающихся критериев. Другая причина состоит, вероятно, в том, что характеризации распределений свойством равнораспределенности немногочисленны и редко встречаются.
Нам известны лишь немногие работы, посвященные в той или иной мере развитию идеи Ю. В. Линника. Это работы Барингхауза и Хенце и Мульере и Никитина , о которых будет сказано ниже. Имеются и работы, в которых критерии согласия для конкретных распределений также строятся на основе характеризаций, но не на основе равнораспределенности, например, , , , , , , , .
Наиболее часто в литературе встречается использование характериза-ции экспоненциального распределения различными вариантами свойства отсутствия памяти , , , , , , .
Следует отметить, что почти во всех этих работах (кроме разве лишь и ) АОЭ рассматриваемых критериев не вычисляется и не обсуждается. В настоящей диссертации мы не только исследуем асимптотические свойства известных и предлагаемых нами критериев, основанных на характеризациях, но и вычисляем их локальную точную (или приближенную) АОЭ по Бахадуру.
Дадим теперь определение понятию АОЭ. Пусть {Тп} и {1^} — две последовательности статистик, построенные по выборке Х,., Хп с распределением Рд, где в € 0 С Я1, и проверяется нулевая гипотеза Но: 9 € во С в против альтернативы А: в € ©-х = ©-6о. Пусть Мт (а, Р,0) — минимальный объем выборки Х[,., Хп, для которого последовательность {Тп} с заданным уровнем значимости, а > 0 достигает мощности /3 < 1 при альтернативном значении параметра в € (c)1- Аналогично вводится в). Относительной эффективностью критерия, основанного на статистике Тп, по отношению к критерию, основанному на Уп, называется величина равная обратному отношению указанных выборочных объемов:
Поскольку относительная эффективность как функция трех аргументов не поддается вычислению в явном виде даже для самых простых статистик, то принято рассматривать пределы:
Птет, у (а,/?, 0), Нтет, у (а,/3,0).
В первом случае получается АОЭ по Бахадуру, второй предел определяет АОЭ по Ходжесу-Леману, а третий приводит к определению АОЭ по Питмену. Поскольку в практических приложениях наиболее интересны именно случаи малых уровней значимости, высоких мощностей и близких альтернатив, то все три определения представляются обоснованными и естественными.
В данной работе для сравнения критериев мы будем пользоваться АОЭ по Бахадуру. Для этого есть несколько причин. Во-первых, питме-новская эффективность пригодна в основном для асимптотически нормальных статистик, и при этом условии совпадает с локальной баха-дуровской эффективностью , . Мы же рассматриваем не только асимптотически нормальные статистики, но и статистики квадратичного типа, для которых предельное распределение при нулевой гипотезе резко отличается от нормального, так что питменовская эффективность неприменима. Во-вторых, АОЭ по Ходжесу-Леману непригодна для исследования двусторонних критериев , , поскольку все они оказываются асимптотически оптимальными, а для односторонних критериев эта АОЭ обычно локально совпадает с бахадуровской АОЭ . В третьих, недавно был достигнут значительный прогресс в области больших уклонений для тестовых статистик, что является решающим при вычислении АОЭ по Бахадуру. Мы имеем в виду большие уклонения и— и V—статистик, описанные в недавних работах и .
Перейдем теперь к обзору содержания диссертации. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней излагаются необходимые теоретические и технические сведения из теории 11-статистик, теории больших уклонений и теории асимптотической эффективности по Бахадуру.
Глава 2 посвящена построению и исследованию критериев для проверки гипотезы симметрии. Барингхауз и Хенце в предложили идею построения критериев симметрии, основанных на следующей элементарной характеризации.
Пусть X и У — н.о.р.с.в., имеющие непрерывную ф.р. Тогда |Х| и |тах (Х, У)| одинаково распределены тогда и только тогда, когда X и У симметрично распределены относительно нуля.
Эту характеризацию мы используем для построения новых критериев симметрии. Вспомним, что несколько классических критериев симметрии (см. , гл.4) основаны на характеризации симметрии еще более простым свойством равнораспределенности X и —X.
Вернемся к характеризации Барингхауза-Хенце. Пусть Х, ., Хп наблюдения, имеющие непрерывную ф.р. <7. Рассмотрим проверку гипотезы симметрии:
Н0: ОД = 1 — <3(-:г) V я (Е Я1. Это сложная гипотеза, поскольку вид С? не уточняется. В качестве альтернатив мы рассмотрим параметрическую альтернативу сдвига, т. е. G (x-0) = F (x — в), в > 0- скошенную (skew) альтернативу , т. е. д (х-в) = 2f (x)F ($x), в > 0- лемановскую альтернативу , т. е. G (x-, 6) = F1+e (x), 6 > 0 и альтернативу загрязнения , т. е. G{x-6) = (1 — 6) F{x) + 6Fr+1(x), в > 0, г > 0, где F (x) и f (x) являются ф.р. и плотностью некоторого симметричного распределения.
В соответствии с указанной выше характеризацией строится эмпирическая ф.р., основанная на |Xj|,., Хп, п
Hn (t) = n~2 J2 Цтах (Х^Хк)<г}. На основе этих функций составляются статистики: лоо ):
Пусть X uY — неотрицательные и невырожденные н.о.р.с.в., имеющие дифференцируемую в нуле ф.р. F, и пусть 0 < а < 1. Тогда X и min (^, —) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. экспоненциального закона.
Помимо построения самого критерия согласия и изучения его асимптотических свойств, представляют интерес вычисление АОЭ нового критерия и исследование ее зависимости от параметра а.
Второе обобщение этой характеризации принадлежит Дезу . Мы сформулируем его на основе более поздних работ , :
Пусть Xi, ., Хт, т ^ 2 — неотрицательные и невырожденные н.о.р. с.в., имеющие дифференцируемую в нуле ф.р. F. Тогда статистики Х и т minpfi, ., Хт) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. экспоненциального закона.
Пусть Хх,., Хп — независимые наблюдения, имеющие ф.р. Основываясь на сформулированных выше характеризациях, мы можем проверить гипотезу экспоненциальности Но, которая состоит в том, что (7 есть ф.р. экспоненциального закона.Р, против альтернативы Н, состоящей в том, что С Ф? при слабых дополнительных условиях.
В соответствии с данными характеризациями строятся эмпирическая ф.р. п = пВД < О (°-0−3) 1 и -статистические ф.р. п-2 ± (* ^ < 4} + ^{тш (?, < «}), 1 П
Мы предлагаем основывать критерии для проверки экспоненциаль-ности на статистиках: пкп = — с&bdquo-(*)] аоп{1).
В качестве альтернатив мы выбираем стандартные альтернативы, используемые в литературе по проверке экспоненциал ьности: альтернативу Вейбулла с д{х) = (в + 1) хеехр (—х1+в), х ^ 0- альтернативу Макехама с д{х) = (1 + 0(1 — ехр (—х))) ехр (—х — 0(ехр (-х) — 1 + х)), х ^ 0- альтернативу линейности функции интенсивности отказов с д (х) = (1 + вх) ехр[—ж — ^вх2], х^О.
Для предложенных выше двух статистик выписываются предельные распределения при нулевой гипотезе:
Теорема 3.2.1 Для статистики И£ при п —* оо имеет место соотношение где Дз (а) определена в (3.2.2). Теорема 3.3.1 Для статистики п при п —> оо имеет место соотношение
Щ0,(т + 1)2А1(т)), где Д4 (т) определена в (3.3.6).
Поскольку обе статистики зависят от параметров, а и т, то мы устанавливаем, при каких значениях параметров АОЭ по Бахадуру достигают своих максимумов и находим эти значения. Кроме того, мы строим альтернативу, при которой максимум достигается в точке, а ф ½.
Четвертая глава посвящена проверке гипотезы о нормальности. Существует множество характеризаций нормального закона как одного из центральных законов теории вероятностей и математической статистики, и две монографии, посвященные исключительно этому вопросу , . Мы рассмотрим слегка упрощенный вариант известной характери-зации из и :
Пусть Хг, Х2, ., Хт — центрированные н.о.р.с.в., имеющие ф.р. о константы а, а-2,., ат таковы, что 0 < а* < 1 и = 1. Тогда статистики Х и одинаково распределены тогда и только тогда, когда F (x) = Ф (х/а), то есть F — ф.р. нормального закона с нулевым средним и некоторой дисперсией, а > 0.
Пусть Х, ., Хп выборка с ф.р. G. Основываясь на этой характериза-ции, мы можем проверить основную гипотезу Я0, которая состоит в том, что G есть ф.р. нормального закона Фа (х) = Ф (х/а), против альтернативы Hi, состоящей в том, что G ф Фа. Строится обычная эмпирическая ф.р. Gn и V-статистическая ф.р. п ^
Bm, n (t) = п~т (Е 1 + — + < *}),
1.¿-т=1 с
Здесь и в дальнейшем символ, а означает суммирование по всем перестановкам индексов. Критерии для проверки нормальности могут быть основаны на следующих статистиках:
В, п = Г dGn (t), J —00 оо
BmAt)-Gn (t)]dGn (t), оо
Bin = Г = {хЄП,Ео»х и
16 мі = e о ** v \ &c = Ue>1 | 5 є Q 7) о
Понятно, что множество Vt соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П 7 — семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7-Если у Є Q, то для є > 0 через О е (у) будет обозначаться множество
Оє(у) — {х eO,x v
Во втором параграфе первой главы доказывается теорема об ограниченности энтропии дискретных распределений с ограниченным математическим ожиданием.
Теорема 1. Об ограниченности энтропии дискретных распределений с ограниченным математическим ожиданием. Для любого жбП 7
Если х Є fi 7 соответствует геометрическому распределению с математическим ооісиданием 7 ; то есть
7 х„ = (1- р)р\ v = 0,1,…, где р = —,
1 + 7 то имеет место равенство H(x) = F(1).
На утверждение теоремы можно смотреть как на результат формаль- ного применения метода условных множителей Лагранжа в случае бесконечного количества переменных. Теорема о том, что единственное распределение на множестве {к, к + 1, к + 2,…} с данным математическим ожиданием и максимальной энтропией есть геометрическое распределение с данным математическим ожиданием, приведена (без доказательства) в /47/. Автором, тем не менее, дано строгое доказательство.
В третьем параграфе первой главы дается определение обобщенной метрики — метрики, допускающей бесконечные значения.
Для х,у Є Гі определяется функция р(х,у) как минимальное є > О со свойством y v e~ e
Если такого є не существует, то полагается, что р{х,у) = оо.
Доказывается, что функция р{х,у) — обобщенная метрика на семействе распределений на множестве неотрицательных целых чисел, а также на всем множестве Сі*. Вместо е в определении метрики р{х,у) можно использовать любое другое положительное,число, отличное от 1. Получающиеся при этом метрики будут отличаться на мультипликативную константу. Обозначим через J(x, у) информационное расстояние
Здесь и далее полагается, что 0 In 0 = 0,01п ^ = 0. Информационное расстояние определено для таких х, у, что x v — 0 для всех и таких, что y v = 0. Если это условие не выполнено, то будем полагать J(S,y) = со. Пусть А С $1. Тогда будем обозначать J{Ay)=»mU(x,y).
Положим J(Jb,y) = 00.
В четвертом параграфе первой главы дается определение компактности функций, заданных на множестве П*. Компактность функции от счетного числа аргументов означает, что с любой степенью точности значение функции может быть приближено значениями этой функции в точках, где лишь конечное количество аргументов отлично от нуля. Доказывается компактность функций энтропии и информационного расстояния.
Для любого 0
Если для некоторого 0 0 функция \{x) = J(x,p) компактна на множестве Ц 7 ] П О г (р).
В пятом параграфе первой главы рассматриваются свойства информационного расстояния, задаваемого на бесконечномерном пространстве. По сравнению с конечномерным случаем ситуация с непрерывностью функции информационного расстояния качественно меняется. Показывается, что функция информационного расстояния не является непрерывной на множестве Г2 ни в одной из метрик pi(,y)= E|z„-i/„|, (
00 \ 2 р 2 {х,у) = sup {x^-ij^.
Доказывается справедливость следующих неравенств для функций энтропии Н(х) и информационного расстояния J(x,p):
1. Для любых х, х» Є fi \Н{х) — Н{х»)\
2. Если для некоторых х,р є П существует є > 0 такое, что х є О є (р), то для любого X і Є Q \J{x,p) — J(x»,p)\
Из этих неравенств с учетом теоремы 1 следует равномерная непрерывность функций энтропии и информационного расстояния на соответствующих подмножествах fi в метрике р(х,у), а именно,
Для любого 7 такого, что 0
Если для некоторого 7о, О
20 то для любых 0 0 функция \p{x) = J(x t p) равномерно непрерывна на множестве Ц 7 ] П О є (р) в метрике р(ж,у).
Дается определение неэкстремальности функции. Условие неэкстремальности означает то, что функция не имеет локальных экстремумов, либо функция принимает в локальных минимумах (локальных максимумах) одинаковые значения. Условие неэкстремальности ослабляет требование отсутствия локальных экстремумов. Например, функция sin х на множестве действительных чисел имеет локальные экстремумы, но удовлетворяет условию неэкстремалыюсти.
Пусть для некоторого 7 > 0, область А задается условием
А = {хЄЇ1 1 ,ф(х) >а}, (0.9) где ф(х) — действительнозначная функция, а — некоторая действительная константа, inf ф(х)
И 3у,ался вопрос, п Р „ каких условиях „а ф„ ф при и_ „ара- q метров п, N в центральной области, ^ -> 7, при всех достаточно больших их значениях найдутся такие неотрицательные целые ко, к\,…, к п, что ко + hi + … + к п = N,
21 k\ + 2/… + nk n — N
Kq k\ k n . ^»iv»-«iv» 0 » 0 «-«)>a —
Доказывается, что для этого от функции ф достаточно потребовать неэкстремальное, компактности и непрерывности в метрике р(х,у), а также того, что хотя бы для одной точки х, удовлетворяющей (0.9), для некоторого є > 0 существует конечный момент степени 1 + є Ml + = і 1+є х и 0 для любого и = 0,1,….
Во второй главе исследуется грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика вероятности больших уклонений функций от Д = (fio,…, ц п, 0,…) — числа ячеек с заданным заполнением в центральной области изменения параметров N,n. Грубой асимптотики вероятностей больших уклонений достаточно для изучения индексов критериев согласия.
Пусть случайные величины ^ в (0.2) одинаково распределены и
Р{Сі = к}=р ь к = 0,1,… > P(z) — производящая функция случайной величины i — сходится в круге радиуса 1
22 Обозначим р(.) = (р{ад = о},Р№) = і},…).
Если существует решение z 1 уравнения
М(*) = 7, то оно единственно /38/. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что Pjfc>0,fc = 0,l,….
В первом пункте первого параграфа второй главы находится асимптотика логарифмов вероятностей вида -т^1пР{й) = ^,…,/ = К}-
Доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Грубая локальная теорема о вероятностях больших уклонений. Пусть п, N -* со так, что — ->7>0
Утверждение теоремы следует непосредственно из формулы для совместного распределения /to, А*ь / в /26/ и следующей оценки: если неотрицательные целочисленные величины fii,fi2,/ удовлетворяют условию /І1 + 2// 2 + … + 71/ = 71, то число ненулевых величин среди них есть 0(л/п). Это грубая оценка, не претендующая на новизну. Число ненулевых ц г в обобщенных схемах размещения не превосходит величины максимального заполнения ячеек, которое в центральной области с вероятностью, стремящейся к 1, не превосходит величины 0(\пп) /25/,/27/. Тем не менее, полученная оценка 0(у/п) выполняется с вероятностью 1 и ее достаточно для получения грубой асимптотики.
Во втором пункте первого параграфа второй главы находится значение предела где адг — последовательность действительных чисел, сходящаяся к некоторому а Є R, ф(х) — действительнозначная функция. Доказывается следующая теорема.
Теорема 3. Грубая интегральная теорема о вероятностях больших уклонений. Пусть выполнены условия теоремы 2, для некоторых г > 0, (> 0 действительная функция ф{х) компактна, равномерно непрерывна в метрике р на мноэюестве
А = О гН (р{г 1))пП ьн] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве Г2 7 . Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х)
24 существует вектор р а fi 7 П 0 r (p(z 7)) ; такой, что
Ф{ра) > а J{{ {x) >а,хЄ П 7 },р(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo длл любой последовательности а^, сходящейся к а, ^-^\пР{ф(^,^,…)>а м } = Пр а,р(г,)). (0.11)
При дополнительных ограничениях на функцию ф(х) информационное расстояние J{pa,P{zy)) в (2.3) удается вычислить более конкретно. А именно, справедлива следующая теорема. Теорема 4. Об информационном расстоянии. Пусть для некоторого 0
Ли некоторвх г > 0, С > 0 действительная функция ф{х) и ее частные производные первого порядка компактны и равномерно непрерывны в обобгценной метрике р{х, у) на множестве
А = О г {р)ПП ьн] , существуют Т > 0, R > 0, такие, что для всех \t\ О p v v 1+ z u ехр{і—ф{х)}
0(р(гаЛ)) = а, / ч X v \Z,t) T, u= oX LJ {Z,t)
Тогда p(z a , t a) Є ft, u J({z Є Л,0(ж) = а},р) = J(p(z a ,t a),p) д _ 9 = 7111 + t a «-^ОФаЛ)) — In 2Wexp{ a —0(р(г а,і а))}. j/=0 CnEi/ ^_o CX(/
Если функция ф(х) — линейная функция, и функция fix) определена при помощи равенства (0.5), то условие (0.12) превращается в условие Крамера для случайной величины f{,{z)). Условие (0.13) есть форма условия (0.10) и используется при доказательстве наличия в областях вида {х Є Г2, ф(х) > а} хотя бы одной точки из 0(n, N) при всех достаточно больших п, N.
Пусть v («)(n,iV) = (/гі,… ,/ijv) — вектор частот в обобщенной схеме размещения (0.2). В качестве следствия из теорем 3, 4 формулируется следующая теорема.
Теорема 5. Грубая интегральная теорема о вероятностях больших уклонений симметричных разделимых статистик в обобщенной схеме размещения.
Пусть п, N -> со так, что jfr — 7» 0 0,R > 0 такие, что для всех \t\ Тогда для любой последовательности а#, сходящейся к а, 1 і iv =
Эта теорема впервые была доказана А. Ф. Ронжиным в /38/ с использованием метода перевала.
Во втором параграфе второй главы исследуются вероятности больших уклонений разделимых статистик в обобщенных cxj^iax разме- v ^ щения в случае невыполнения условию Крамера для случайной величины /((z)). Условие Крамера для случайной величины f{,(z)) не выполняется, в частности, если (z) — пуассоновская случайная величина, а /(х) = х 2 . Заметим, что условие Крамера для самих разделимых статистик в обобщенных схемах размещения выполняется всегда, так как при любых фиксированных п, N число возможных исходов в этих схемах конечно.
Как отмечено в /2/, если условие Крамера не выполнено, то для отыскания асимптотики вероятностей больших уклонений сумм одинаково рас- пределеипых случайных величин требуется выполнение дополнительных, fусловий правильного изменения на распределение слагаемого. В работе (рассматривается случай, соответствующий выполнению условия (3) в /2/, то есть семиэкспоненциальный случай. Пусть P{i = к} > О для всех
28 к = 0,1,… и функцию р(к) = -\пР{^ = к}, можно продолжить до функции непрерывного аргумента — правильно меняющейся функции порядка р, 0 оо P(tx) , r v P(t)
Пусть функция f(x) при достаточно больших значениях аргумента — положительная строго возрастающая, правильно меняющаяся функция порядка д>1,^На остальной числовой оси
Тогда с. в. /(i) имеет моменты любого порядка и не удовлетворяет условию Крамера, ip(x) = о(х) при х -> оо, и справедлива следующая Теорема 6. Пусть при достаточно больших х функция ip(x) монотонно не убывает, функция ^р монотонно не возрастает, п, N —> оо так, что jf — А, 0 b{z\), где b(z) = М/(1(2)), существует предел &Щ 1пР{ь » (л(п,лг)) > cN] = » (с ~ b{zx))l Ь»»ї
Из теоремы б следует, что при невыполнении условия Крамера предел (^ lim ~\nP{L N (h(n,N)) > cN} = 0, «» Dv
Л/-too iV и что доказывает справедливость гипотезы, высказанной в /39/. Таким обра- ъ зом, значение индекса критерия согласия в обобщенных схемах размещения -^ при невыполнении условия Крамера всегда равно нулю. При этом в классе критериев, когда условие Крамера выполняется, строятся критерии с ненулевым значением индекса. Отсюда можно сделать вывод, что использовать критерии, статистика которых не удовлетворяет условию Крамера, например, критерий хи-квадрат в полиномиальной схеме, для построения критериев согласия для проверки гипотез при несближающихся альтернативах в указанном смысле асимптотически неэффективно. Подобный вывод был сделан в /54/ по результатам сравнения статистик хи-квадрат и отношения максимального правдоподобия в полиномиальной схеме.
В третьей главе решается задача построения критериев согласия с наибольшим значением индекса критерия (наибольшим значением нижнего индекса критерия) для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения. На основе результатов первой и второй глав о свойствах функций энтропии, информационного расстояния и вероятностей больших уклонений в третьей главе находится функция вида (0.4) такая, что критерий согласия, построенный на ее основе, имеет наибольшее значение точного нижнего индекса в рассматриваемом классе критериев. Доказывается следующая теорема. Теорема 7. О существовании индекса. Пусть выполнены условия теоремы 3, 0 ,… — последовательность альтернативных распределений, 0^(/3, iV) — максимальное число, для которого при гипотезе Н Р (ло выполнено неравенство
Р{ф(^^,…)>а ф (Р,М)}>(3, существует предел limjv-»oo о>ф{Р, N) — а. Тогда в точке (/З, Н) существует индекс критерия ф
Зфф,К) = 3{{ф{х) >а,хе ЗД.Р^)).
При этом зф(0,й)N NP{e(2 7) = fc}»
В Заключении излагаются полученные результаты в их соотношении с общей целью и конкретными задачами, поставленными в диссертации, формулируются выводы но результатам диссертационного исследования, указываются научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы, а также конкретные научные задачи, которые выявлены автором и решение которых представляется актуальным.
Краткий обзор литературы по теме исследования.
В диссертационной работе рассматривается задача построения критериев согласия в обобщенных схемах размещения с наибольшим значением индекса критерия в классе функций вида (0.4) при несближающихся альтернативах.
Обобщенные схемы размещения были введены В. Ф. Колчиным в /24/. Величины fi r в полиномиальной схеме были названы числом ячеек с г дробинками и подробно изучены в монографии В. Ф. Колчина, Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова /27/. Величины \і г в обобщенных схемах размещения исследовались В. Ф. Колчиным в /25/,/26/. Статистики вида (0.3) впервые были рассмотрены Ю. И. Медведевым в /30/ и получили название разделимых (аддитивно разделимых) статистик. Если функции /„ в (0.3) не зависят от и, такие статистики были названы в /31/ симметричными разделимыми статистиками. Асимптотика моментов разделимых статистик в обобщенных схемах размещения была получена Г. И. Ивченко в /9/. Предельные теоремы для обобщенной схемы размещения рассматривались также в /23/. Обзоры результатов предельных теоремах и критериях согласия в дискретных вероятностых схемах типа (0.2) были даны В. А. Ивановым, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /8/ и Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым, А. Ф. Ронжиным в /14/. Критерии согласия для обобщенных схем размещения были рассмотрены А. Ф. Ронжиным в /38/.
Сравнение свойств статистических критериев в указанных работах проводилось с точки зрения относительной асимптотической эффективности. Рассматривались случае сближающихся (контигуальных) гипотез — эффективность в смысле Питмена и несближающихся гипотез — эффективность в смысле Бахадура, Ходжеса — Лемана и Чернова. Связь между различными видами относительной эффективности статистических критериев обсуждается, например, в /49/. Как следует из результатов Ю. И. Медведева в /31/ о распределении разделимых статистик в полиномиаль- ной схеме, наибольшую асимптотическую мощность при сближающихся гипотезах в классе разделимых статистик от частот исходов в полиномиальной схеме имеет критерий, основанный на основе статистики хи-квадрат. Данный результат был обобщен А. Ф. Ронжиным для схем типа (0.2) в /38/. И. И. Викторовой и В. П. Чистяковым в /4/ построен оптимальный критерий для полиномиальной схемы в классе линейных функций от fi r . А. Ф. Ронжин в /38/ построил критерий, который при последовательности несближающихся с нулевой гипотезой альтернатив минимизирует логарифмическую скорость стремления вероятности ошибки первого рода к нулю, в классе статистик вида (0.6). Сравнение относительной эффективности статистик хи-квадрат и отношения максимального правдоподобия при сближающихся и несближающихся гипотезах было проведено в /54/. В диссертационной работе рассматривался случай несближающися гипотез. Изучение относительной статистической эффективности критериев при несближающихся гипотезах требует исследования вероятностей сверхбольших уклонений — порядка 0(у/п). Впервые такая задача для полиномиального распределения с фиксированным количеством исходов решалась И. Н. Сановым в /40/. Асимптотическая оптимальность критериев согласия для проверки простых и сложных гипотез для полиномиального распределения в случае конечного числа исходов при несближающихся альтернативах рассматривалась в /48/. Свойства информационного расстояния ранее рассматривались Кульбаком, Лейблером /29/,/53/ и И. II. Сановым /40/, а также Хеффдингом /48/. В указанных работах непрерывность информационного расстояния рассматривалась на конечномер- ных пространствах в евклидовой метрике. Рядом автором рассматривалась последовательность пространств с растущей размерностью, например, в работе Ю. В. Прохорова /37/ или в работе В. И. Богачева, А. В. Колесникова /1/. Грубые (с точностью до логарифмической эквивалентности) теоремы о вероятностях больших уклонений разделимых статистик в обобщенных схемах размещения при выполнении условия Крамера были получены А. Ф. Роижиным в /38/. А. Н. Тимашевым в /42/,/43/ получены точные (с точностью до эквивалентности) многомерные интегральные и локальные предельные теоремы о вероятностях больших уклонений вектора fir^n, N),…, fi rs (n,N), где s, гі,…, r s — фиксированные целые числа,
Статистические задачи проверки гипотез и оценивания параметров в схеме выбора без возвращения в несколько иной постановке рассматривались Г. И. Ивченко, В. В. Левиным, Е. Е. Тимониной /10/, /15/, где решались задачи оценивания для конечной совокупности, когда число ее элементов является неизвестной величиной, доказывалась асимптотическая нормальность многомерных S — статистик от s независимых выборок в схеме выбора без возвращения. Задача изучения случайных величин, свя- занных с повторениями в последовательностях независимых испытаний исследовалась А. М. Зубковым, В. Г. Михайловым, А. М. Шойтовым в /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. Анализ основных статистических задач оценивания и проверки гипотез в рамках общей модели Маркова-Пойа проведен Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /13/, вероятностный анализ которой был дан в /11/. Способ задания неравновероятиых мер на множестве комбинаторных объектов, не сводимый к обобщенной схеме размещения (0.2) был описан в Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым /12/. Ряд задач теории вероятностей, в которых ответ может быть получен в результате вычислений но рекуррентным формулам, указан А. М. Зубковым в /5/.
Неравенства для энтропии дискретных распределений были получены в /50/ (цитируется но реферату А. М. Зубкова в РЖМат). Если {p n }Lo — распределение вероятностей,
Рп = Е Рк, к=п A = supp^Pn+i
Я + (In -f-) (Х Рп — Р п+1)
Рп= {x f 1)n+v n>Q. (0.15)
Заметим, что экстремальное распределение (0.15) есть геометрическое распределение с математическим ожиданием Л, а функция F(X) от параметра (0.14) совпадает с функцией от математического ожидания в теореме 1.
Энтропия дискретных распределений с ограниченным математическим ожиданием
Если индекс критерия существует, то нижний индекс критерия совпадает с ним. Нижний индекс критерия существует всегда. Чем больше значения индекса критерия (нижнего индекса критерия), тем лучше в рассматриваемом смысле статистический критерий. В /38/ была решена задача построения критериев согласия для обобщенных схем размещения с наибольшим значением индекса критерия в классе критериев, которые отклоняют гипотезу Ho(n,N) при где т 0 — некоторое фиксированное число, последовательность постоянных едг выбирается, исходя из заданного значения мощности критерия при последовательности альтернатив, фт — действительная функция от т + 1 аргументов.
Индексы критериев определяются вероятностями больших уклонений. Как было показано в /38/, грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика вероятностей больших уклонений разделимых статистик при выполнении условия Крамера для случайной величины /() определяется соответствующим информационным расстоянием Куль-бака — Лейблера — Санова (случайная величина ц удовлетворяет условию Крамера, если для некоторого # 0 производящая функция моментов Mef7? конечна в интервале \t\ Н /28/).
Вопрос о вероятностях больших уклонений статистик от неограни ченного числа fir, а также произвольных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера, оставался открытым. Это не позволяло окончательно решить задачу построения критериев для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения с наибольшей скоростью стремления к нулю вероятности ошибки первого рода при пссближающихся альтернативах в классе критериев, основанных на статистиках вида (0.4). Актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью завершить решение указанной задачи.
Целью диссертационной работы является построение критериев согласия с наибольшим значением индекса критерия (нижнего индекса критерия) для проверки гипотез в схеме выбора без возращения в классе критериев, которые отклоняют гипотезу Щ{п, N) при где ф — функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи: — исследовать свойства энтропии и информационного расстояния Куль-бака — Лейблера — Санова для дискретных распределений со счетным количеством исходов; — исследовать вероятности больших уклонений статистик вида (0.4); — исследовать вероятности больших уклонений симметричных разделимых статистик (0.3), не удовлетворяющих условию Крамера; — найти такую статистику, что построенный на ее основе критерий со гласия для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения имеет наибольшее значение индекса в классе критериев вида (0.7). Научная новизна: — дано понятие обобщенной метрики — функции, допускающей бесконечные значения и удовлетворяющей аксиомам тождества, симметрии и неравенства треугольника. Найдена обобщенная метрика и указаны множества, на которых функции энтропии и информационного расстояния, заданные на семействе дискретных распределений со счетным числом исходов, непрерывны в этой метрике; — в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений статистик вида (0.4), удовлетворяющих соответствующей форме условия Крамера; — в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера; — в классе критериев вида (0.7) построен критерий с наибольшим значением индекса критерия. Научная и практическая ценность. В работе решен ряд вопросов о поведении вероятностей больших уклонений в обобщенных схемах размещения. Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе по специальностям математическая статистика и теория информации, при исследовании статистических процедур анализа дискретных последовательностях и были использованы в /3/, /21/ при обосновании защищенности одного класса информационных систем. Положения, выносимые на защиту: — сведение задачи проверки по единственной последовательности цветов шаров гипотезы от том, что эта последовательность получена в результате выбора без возвращения до исчерпания шаров из урны, содержащей шары двух цветов, и каждый такой выбор имеет одинаковую вероятность, к построению критериев согласия для проверки гипотез в соответствующей обобщенной схеме размещения; — непрерывность функций энтропии и информационного расстояния Кульбака — Лейблера — Санова на бесконечномерном симплексе с введенной логарифмической обобщенной метрикой; — теорема о грубой (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотике вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера в обобщенной схеме размещения в семиэксионенциалыюм случае;
Непрерывность информационного расстояния Кульбака — Лейблера — Санова
Обобщенные схемы размещения были введены В. Ф. Колчиным в /24/. Величины fir в полиномиальной схеме были названы числом ячеек с г дробинками и подробно изучены в монографии В. Ф. Колчина, Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова /27/. Величины \іг в обобщенных схемах размещения исследовались В. Ф. Колчиным в /25/,/26/. Статистики вида (0.3) впервые были рассмотрены Ю. И. Медведевым в /30/ и получили название разделимых (аддитивно разделимых) статистик. Если функции /„ в (0.3) не зависят от и, такие статистики были названы в /31/ симметричными разделимыми статистиками. Асимптотика моментов разделимых статистик в обобщенных схемах размещения была получена Г. И. Ивченко в /9/. Предельные теоремы для обобщенной схемы размещения рассматривались также в /23/. Обзоры результатов предельных теоремах и критериях согласия в дискретных вероятностых схемах типа (0.2) были даны В. А. Ивановым, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /8/ и Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым, А. Ф. Ронжиным в /14/. Критерии согласия для обобщенных схем размещения были рассмотрены А. Ф. Ронжиным в /38/.
Сравнение свойств статистических критериев в указанных работах проводилось с точки зрения относительной асимптотической эффективности. Рассматривались случае сближающихся (контигуальных) гипотез — эффективность в смысле Питмена и несближающихся гипотез — эффективность в смысле Бахадура, Ходжеса — Лемана и Чернова. Связь между различными видами относительной эффективности статистических критериев обсуждается, например, в /49/. Как следует из результатов Ю. И. Медведева в /31/ о распределении разделимых статистик в полиномиальной схеме, наибольшую асимптотическую мощность при сближающихся гипотезах в классе разделимых статистик от частот исходов в полиномиальной схеме имеет критерий, основанный на основе статистики хи-квадрат. Данный результат был обобщен А. Ф. Ронжиным для схем типа (0.2) в /38/. И. И. Викторовой и В. П. Чистяковым в /4/ построен оптимальный критерий для полиномиальной схемы в классе линейных функций от fir. А. Ф. Ронжин в /38/ построил критерий, который при последовательности несближающихся с нулевой гипотезой альтернатив минимизирует логарифмическую скорость стремления вероятности ошибки первого рода к нулю, в классе статистик вида (0.6). Сравнение относительной эффективности статистик хи-квадрат и отношения максимального правдоподобия при сближающихся и несближающихся гипотезах было проведено в /54/. В диссертационной работе рассматривался случай несближающися гипотез. Изучение относительной статистической эффективности критериев при несближающихся гипотезах требует исследования вероятностей сверхбольших уклонений — порядка 0(у/п). Впервые такая задача для полиномиального распределения с фиксированным количеством исходов решалась И. Н. Сановым в /40/. Асимптотическая оптимальность критериев согласия для проверки простых и сложных гипотез для полиномиального распределения в случае конечного числа исходов при несближающихся альтернативах рассматривалась в /48/. Свойства информационного расстояния ранее рассматривались Кульбаком, Лейблером /29/,/53/ и И. II. Сановым /40/, а также Хеффдингом /48/. В указанных работах непрерывность информационного расстояния рассматривалась на конечномерных пространствах в евклидовой метрике. Рядом автором рассматривалась последовательность пространств с растущей размерностью, например, в работе Ю. В. Прохорова /37/ или в работе В. И. Богачева, А. В. Колесникова /1/. Грубые (с точностью до логарифмической эквивалентности) теоремы о вероятностях больших уклонений разделимых статистик в обобщенных схемах размещения при выполнении условия Крамера были получены А. Ф. Роижиным в /38/. А. Н. Тимашевым в /42/,/43/ получены точные (с точностью до эквивалентности) многомерные интегральные и локальные предельные теоремы о вероятностях больших уклонений вектора
Исследование вероятностей больших уклонений при невыполнении условия Крамера для случая независимых случайных величин проведено в работах А. В. Нагаева /35/. Метод сопряженных распределений описан у Феллера /45/.
Статистические задачи проверки гипотез и оценивания параметров в схеме выбора без возвращения в несколько иной постановке рассматривались Г. И. Ивченко, В. В. Левиным, Е. Е. Тимониной /10/, /15/, где решались задачи оценивания для конечной совокупности, когда число ее элементов является неизвестной величиной, доказывалась асимптотическая нормальность многомерных S — статистик от s независимых выборок в схеме выбора без возвращения. Задача изучения случайных величин, связанных с повторениями в последовательностях независимых испытаний исследовалась А. М. Зубковым, В. Г. Михайловым, А. М. Шойтовым в /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. Анализ основных статистических задач оценивания и проверки гипотез в рамках общей модели Маркова-Пойа проведен Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /13/, вероятностный анализ которой был дан в /11/. Способ задания неравновероятиых мер на множестве комбинаторных объектов, не сводимый к обобщенной схеме размещения (0.2) был описан в Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым /12/. Ряд задач теории вероятностей, в которых ответ может быть получен в результате вычислений но рекуррентным формулам, указан А. М. Зубковым в /5/.
Информационное расстояние и вероятности больших уклонений разделимых статистик
Когда условие Крамера не выполняется, большие уклонения разделимых статистик в обобщенной схеме размещения в рассмотренном семиэкспоненциальном случае определяются вероятностью уклонения одного независимого слагаемого. Когда условие Крамера выполняется, это, как подчеркивалось в /39/, не так. Замечание 10. Функция ф(х) такова, что математическое ожидание Ее АЫ) конечно при 0 t 1 и бесконечно при t 1. Замечание 11. Для разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера, предел (2.14) равен 0, что доказывает справедливость гипотезы, высказанной в /39/. Замечание 12. Для статистики хи-квадрат в полиномиальной схеме при п, ./V — со так, что — А, из теоремы непосредственно следует, что Этот результат был получен в /54/ непосредственно. В настоящей главе в центральной области изменения параметров обобщенных схем размещения частиц по ячейкам были найдены грубые (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотики вероятностей больших уклонений аддитивно-разделимых статистик от заиолнеия ячеек и функций от числа ячеек с заданным заполнением.
Если условие Крамера выполняется, то грубая асимптотика вероятностей больших уклонений определяется грубой асимптотикой вероятностей попадания в последовательность точек с рациональными координатами, сходящихся в указанном выше смысле к точке, в которой достигается экстремум соответствующего информационного расстояния.
Был рассмотрен семиэкспоненциальный случай невыполнения услоия Крамера для случайных величины /(i),…, /(лг), где ъ, лг — независимые случайные величины, порождающие обобщенную схему размее-ния (0.2), f(k) — функция в определении симметричной аддитивно разделимой статистики в (0.3). То есть предполагалось, что функции р(к) = — lnP{i = к} и f(k) могут быть продолжены до правильно меняющихся функций непрерывного аргумента порядка р 0 и q 0 соответственно и р q . Оказалось, что основной вклад в грубую асимптотику вероятностей больших уклонений разделимых статистик в обобщенных схемах размещения аналогичнымобразом вносит грубая асимптотика вероятности ионадания в соответствующую последовательность точек. Интересно отметить, что ранее теорема о вероятностях больших уклонений для разделимых статистик доказывалась с использованием метода перевала, причем основной вклад в асимптотику вносила единственная точка перевала. Остался неисследованным случай, когда при невыполнении условия Крамера не выполняется условие 2-кН.
Если условие Крамера не выполняется, то указанное условие может не выполняться только в случае р 1. Как непосредственно следует из логариф-мироания соответствующих вероятностной, для распределения Пуассона и геометрического распределения р=1. Из результата об асимптотике вероятностей больших уклонений при невыполнении условия Крамера можно сделать вывод, что критерии, статистика которых не удовлетворяет условию Крамера, имеют существенно меньшую скорость стреимления к нулю вероятностей ошибок второго рода при фиксированной вероятности ошибки первого рода и несближающихся пльтернативах по сравнению с критериями, статистика которых удовлетворяет условию Крамера. Пусть из урны, содержащей N — 1 1 белых ип-JV 1 черных шаров производится выбор без возвращения до олпого исчерпания. Свяжем места белых шаров в выборе 1 i\ … г -і п — 1 с последовательностью расстояний между соседними белыми шарами hi,…, h следующим образом: Тогда hv l,v =1,… ,N,M EjLi i/ — n- Зададим на множестве векторов h = (hi,…, Лдг) вероятностное распределение, положив V{hv = rv,v = l,…,N) где i,… ,лг — независимые неотрицательные целочисленные случайные величины (с. в.), то есть рассмотрим обобщенную схему размещения (0.2). Распределение вектора h зависит от n,N, но соответствующие индексы там, где это возможно, будут опускаться для упрощения записи. Замечание 14. Если каждому из (]) способов выбора шаров из урны приписана одна и та же вероятность { \) тп для любых г і,…, гдг таких, что г„ 1,и = l,…,N,T,v=\ru = п, вероятность того, что расстояния между соседними белыми шарами в выборе примут эти значения
Критерии, основанные на числе ячеек в обобщенных схемах размещения
Целью диссертационной работы было построения критериев согласия для проверки гипотез в схеме выбора без возвращения из урны, содержащей шары 2 цветов. Автором было решено изучать статистики, построенные на основе частот расстояний между шарами одного цвета. В такой постановке задача была сведена, к задаче проверки гипотез в подходящей обобщенной схеме размещения.
В диссертационной работе были — исследованы свойства энтропии и информационного расстояния дискретных распределений с неограниченным количеством исходов при ограниченном математическом ожидании; — получена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика вероятностей больших уклонений широкого класса статистик в обобщенной схеме размещения; — на основе полученных результатов построена функция критерия с наибольшей логарифмической скоростью стремления к нулю вероятности ошибки первого рода при фиксированной вероятности ошибки второго рода и несближающихся альтернативах; — доказано, что статистики, не удовлетворяющие условию Крамера, имеют меньшую скорость стремления к нулю вероятностей больших уклонений по сравнению со статистиками, удовлетворяющими такому условию. Научная новизна работы заключается в следующем. — дано понятие обобщенной метрики — функции, допускающей бесконечные значения и удовлетворяющей аксиомам тождества, симметрии и неравенства треугольника. Найдена обобщенная метрика и указаны множества, на которых функции энтропии и информационного расстояния, заданные на семействе дискретных распределений со счетным числом исходов, непрерывны в этой метрике; — в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений статистик вида (0.4), удовлетворяющих соответствующей форме условия Крамера; — в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера; — в классе критериев вида (0.7) построен критерий с наибольшим значением индекса критерия. В работе решен ряд вопросов о поведении вероятностей больших уклонений в обобщенных схемах размещения. Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе по специальностям математическая статистика и теория информации, при исследовании статистических процедур анализа дискретных последовательностях и были использованы в /3/, /21/ при обосновании защищенности одного класса информационных систем. Однако, ряд вопросов остается открытым. Автор ограничился рассмотрением центральной зоны изменения параметров n,N обобщенных схем размещения п частиц по./V ячейкам. Если носитель распределения случайных величин, порождающие обобщенную схему размещения (0.2), не есть множество вида г, г 4-1, г + 2,…, то при доказательстве непрерывности функции информационного расстояния и исследовании вероятностей больших уклонений требуется учитывать арифметическую структуру такого носителя, что в работе автора не рассматривалось. Для практического применения критериев, построенных на основе предлагаемой функции с максимальным значением индекса, требуется изучение ее распределения как при нулевой гипотезе, так и при альтернативах, в том числе и сближающихся. Интерес представляет также перенос разработанных методов и обобщение полученных результатов на другие вероятностные схемы, отличные от обобщенных схем размещения. Если //1,/ 2,-.. — частоты расстояний между номерами исхода 0 в биномиальной схеме с вероятностями исходов рої 1 -POj то можно показать, что в этом случае Из анализа формулы для совместного распределение величин \іт в обобщенной схеме размещения, доказанной в /26/, следует, что распределение (3.3), вообще говоря, не может быть представлено в общем случае как совместное распределение величин цг в какой-либо обобщенной схеме размещения частиц по ячейкам. Данное распределение является частным случаем распределений на множестве комбинаторных объектов, введенных в /12/. Представляется актуальной задачей перенос результатов диссертационной работы для обобщенных схем размещения на этот случай, что и обсуждалось в /52/.
